Як знайти диференціал

Уявіть, що деяка точка A за певний проміжок часу t пройшла шлях s. Рівняння руху точки A можна записати в наступному вигляді:
s = f (t), де f (t) - функція пройденого шляху
Оскільки швидкість знаходиться шляхом ділення шляху на час, вона є похідною шляху, і, відповідно, зазначеної вище функції:
v = s`t = f (t)
При зміні швидкості і часу швидкість обчислюється таким чином:
v =? s /? t = ds / dt = s`t
Всі отримані значення швидкості є похідні шляху. За деякий проміжок часу, відповідно, може змінитися і швидкість. Крім того, методом диференціального обчислення знаходять і прискорення, яке є першою похідною швидкості і другої похідної шляху. Коли йдеться про другий похідною функції, мова йде про диференціалах другого порядку.

Диференціал функції з математичної точки зору є похідною, яка записується в наступному вигляді:
dy = df (x) = y`dx = f` (x)? x
Коли дана звичайна функція, виражена в числових значеннях, диференціал обчислюється за такою формулою:
f` (x) = (x ^ n) `= n * x ^ n-1
Наприклад, в задачі дана функція: f (x) = x ^ 4. Тоді диференціал цієї функції дорівнює: dy = f` (x) = (x ^ 4) `= 4x ^ 3
Диференціали простих тригонометричних функцій наведені у всіх довідниках з вищої математики. Похідна функції y = sin x дорівнює висловом (y) `= (sinx)` = cosx. Також в довідниках дані диференціали ряду логарифмічних функцій.

Диференціали складних функцій обчислюються шляхом використання таблиці диференціалів і знання деяких їх властивостей. Нижче наведені основні властивості диференціала.
Властивість 1. Диференціал суми дорівнює сумі диференціалів.
d (a + b) = da + db
Дана властивість може бути застосовано незалежно від того, яка функція дана - тригонометрическая або звичайна.
Властивість 2. Постійний множник можна винести за знак диференціала.
d (2a) = 2d (a)
Властивість 3. Твір складної диференціальної функції дорівнює добутку однієї простої функції на диференціал другий, складеному з твором другої функції на диференціал першої. Виглядає це наступним чином:
d (uv) = du * v + dv * u
Таким прикладом може служити функція y = x sinx, диференціал якої дорівнює:
y` = (xsinx) `= (x)` * sinx + (sinx) `* x = sinx + cosx ^ 2