Як знайти площу і об`єм куба

Обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює: V = abc - де a, b, c - його вимірювання. Тому обсяг куба дорівнює V = a * a * a = a ^ 3, де a - довжина сторони куба.Площа поверхні куба дорівнює сумі площ всіх його граней. всього у куба шість граней, тому площа його поверхні дорівнює S = 6 * (a ^ 2).

Нехай куля вписаний в куб. Очевидно, діаметр цієї кулі буде дорівнює стороні куба. Підставляючи довжину діаметра в вирази для обсягу замість довжини ребра куба і використовуючи, що діаметр дорівнює подвоєному радіусу, отримаємо тоді V = d * d * d = 2r * 2r * 2r = 8 * (r ^ 3), де d - діаметр вписаного кола, а r - радіус вписаного окружності.Площадь поверхні куба тоді буде дорівнює S = 6 * (d ^ 2) = 24 * (r ^ 2).

Нехай кулю описаний навколо куба. Тоді його діаметр буде збігатися з діагоналлю куба. Діагональ куба проходить через центр куба і з`єднує дві його протилежні точки.
Розгляньте для початку одну з граней куба. Ребра цієї межі є катетами прямокутного трикутника, в якому діагональ грані d буде гіпотенузою. Тоді по теоремі Піфагора отримаємо: d = sqrt ((a ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2) * a.

Потім розгляньте трикутник в якому гіпотенузою буде діагональ куба, а діагональ грані d і одне з ребер куба a - його катетами. Аналогічно, по теоремі Піфагора отримаємо: D = sqrt ((d ^ 2) + (a ^ 2)) = sqrt (2 * (a ^ 2) + (a ^ 2)) = a * sqrt (3).




Отже, по виведеної формулою діагональ куба дорівнює D = a * sqrt (3). Звідси, a = D / sqrt (3) = 2R / sqrt (3). Отже, V = 8 * (R ^ 3) / (3 * sqrt (3)), де R - радіус описаного шара.Площадь поверхні куба дорівнює S = 6 * ((D / sqrt (3)) ^ 2) = 6 * (D ^ 2) / 3 = 2 * (D ^ 2) = 8 * (R ^ 2).