Як вирішувати кубічні рівняння
Кубічні рівняння мають вигляд ax + bx + cx + d = 0. Спосіб вирішення таких рівнянь відомий вже кілька століть (він був відкритий в 1500-х роках італійськими математиками). Вирішити деякі кубічні рівняння досить складно, але при правильному підході (і хорошому рівні теоретичних знань) ви зможете вирішувати навіть найскладніші кубічні рівняння.
кроки
Метод 1 з 3: Рішення за допомогою формули для вирішення квадратного рівняння
1
Перевірте, чи має дане вам кубічне рівняння вільний член. Як зазначалося вище, кубічні рівняння мають вигляд ax + bx + cx + d = 0, де коефіцієнти "b", "з" і "d" можуть бути рівні 0, тобто кубічну рівняння може складатися тільки з одного члена (зі змінною в третього ступеня). Спочатку перевірте, чи має дане вам кубічне рівняння вільний член, тобто "d". Якщо вільного члена немає, ви можете вирішити дане кубічне рівняння за допомогою формули для вирішення квадратного рівняння.
- Якщо вільний член є, використовуйте інший метод вирішення (дивіться наступні розділи).
2
Так як в даному рівнянні вільного члена немає, то всі члени цього рівняння містять змінну "х", Яку можна винести за дужки: x(ax + bx + c).
3
Зверніть увагу, що рівняння в дужках - це квадратне рівняння виду ax + bx + c, яке можна вирішити за допомогою формули ({-b +/ - (b- 4ac)} / 2a). Вирішіть квадратне рівняння, і ви вирішите кубічне рівняння.
- {-b +/ - (b- 4ac)} / 2a
- {- (- 2) +/- ((-2) - 4 (3) (14))} / 2 (3)
- {2 +/- (4 - (12) (14))} / 6
- {2 +/- (4 - (168)} / 6
- {2 +/- (-164)} / 6
- {2 + (-164)} / 6
- {2 + 12,8i} / 6
- {2 - 12,8i} / 6
4
Пам`ятайте, що квадратні рівняння мають два рішення, а кубічні - три рішення. Ви знайшли два рішення квадратного, а отже і кубічного рівняння. У випадках, коли ви виносите "х" за дужки, третє рішення завжди дорівнює 0.
1
Перевірте, чи має дане вам кубічне рівняння вільний член. Описаний в попередньому розділі метод не годиться для вирішення кубічних рівнянь, в яких присутній вільний член. В цьому випадку вам доведеться скористатися методом, описаному в цьому або наступному розділах.
- Приклад. 2x + 9x + 13x = -6. Тут перенесіть вільний член d = -6 на ліву сторону рівняння, щоб на правій стороні отримати 0: 2x + 9x + 13x + 6 = 0.
2
Знайдіть множники коефіцієнта "а" (Коефіцієнт при x) І вільного члена "d". Множники числа - це числа, які при перемножуванні дають вихідне число. Наприклад, множителями числа 6 є числа 1, 2, 3, 6 (1 * 6 = 6 і 2 * 3 = 6).
3
Розділіть множники коефіцієнта "а" на множники вільного члена "d". Ви отримаєте дроби і цілі числа. Цілим рішенням даного вам кубічного рівняння буде або одне з цих цілих чисел, або негативне значення одного з цих цілих чисел.
Відео: Багаточлени. Кубічні рівняння Частина 1
4
Тепер ви можете знайти цілі рішення вашого кубічного рівняння, підставивши в нього цілі числа зі знайденого ряду чисел. Але якщо ви не хочете витрачати час на це, скористайтеся розподілом за схемою Горнера. Така схема має на увазі розподіл цілих чисел на значення "а", "b", "з", "d" даного кубічного рівняння. Якщо залишок дорівнює 0, ціле число є одним з рішень кубічного рівняння.
- -1 | 2 9 13 6
- __ | -2-7-6
- __ | 2 7 6 0
- Так як залишок 0, то одним з рішень рівняння є ціле число -1.
Відео: Як вирішувати кубічні і квадратні рівняння?
1
У цьому методі ви будете працювати зі значеннями коефіцієнтів "а", "b", "з", "d". Тому краще виписати значення цих коефіцієнтів заздалегідь.
- Приклад. x - 3x + 3x - 1. Тут a = 1, b = -3, c = 3, d = -1. Не забувайте, що коли перед "х" коефіцієнта немає, то це означає, що коефіцієнт дорівнює 1.
2
Обчисліть 0 = b - 3ac. У цьому методі потрібно провести кілька складних обчислень, але якщо ви усвідомите його, ви зможете вирішувати найскладніші кубічні рівняння.
- b - 3ac
- (-3) - 3 (1) (3)
- 9 - 3 (1) (3)
- 9 - 9 = 0 = 0
3
Обчисліть 1 = 2b - 9abc + 27ad.
- 2 (-3) - 9 (1) (- 3) (3) + 27 (1) (- 1)
- 2 (-27) - 9 (-9) + 27 (-1)
- -54 + 81 - 27
- 81 - 81 = 0 = 1
4
Обчисліть = 1 - 4 0) -27a. Тепер обчисліть дискриминант рівняння за допомогою знайдених значень 0 і 1. Дискримінант - це число, що дає вам інформацію про коріння многочлена (ви, можливо, вже знаєте, що дискримінант квадратного рівняння дорівнює b - 4ac). У разі кубічного рівняння, якщо дискримінант позитивний, то рівняння має три рішення-якщо дискримінант дорівнює нулю, то рівняння має одне або два рішення-якщо дискримінант від`ємний, то рівняння має тільки одне рішення. (Кубічне рівняння завжди має принаймні одне рішення, тому що графік такого рівняння перетинає вісь X принаймні в одній точці).
- 1 - 4 0) -27a
- (0) - 4 (0)) -27 (1)
- 0 - 0 27
- 0 =, Тому дане вам рівняння має одне або два рішення.
5
Обчисліть C = (((1 - 4 0) + 1) / 2). Ця величина дозволить вам знайти коріння кубічного рівняння.
- (((1 - 4 0) + 1) / 2)
- (((0 - 4 (0)) + (0)) / 2)
- (((0 - 0) + (0)) / 2)
- 0 = C
6
Коріння (рішення) кубічного рівняння визначаються за формулою (b + uC + (0 /uC)) / 3a, де u = (-1 + (-3)) / 2, а n одно або 1, або 2, або 3.
Статті за темою "Як вирішувати кубічні рівняння"
Оцініть, будь ласка статтю
Ще статті розділу
