Як вирішувати показові рівняння

Показові рівняння - рівняння, у яких змінна (невідоме) коштує в показнику ступеня. На перший погляд їх дуже складно вирішувати, але це зовсім не так. Ця стаття розповість про способи вирішення показових рівнянь (як з використанням логарифмів, так і без них).

Метод 1 з 2: Рішення показових рівнянь без використання логарифмів

Зображення з назвою Solve Exponential Equations Step 1

Прочитайте наступні приклади. Іноді вам не потрібно використовувати логарифми для вирішення показових рівнянь. Нижче, на основі трьох прикладів, будуть представлені рішення показових рівнянь без використання логарифмів.

Приклад 1: 6 = 6
Приклад 2: 6 = 36
Приклад 3: 6 = 6

Зображення з назвою Solve Exponential Equations Step 2

Визначте змінну (невідоме). Перше, що ви повинні зробити - визначити змінну, яку необхідно знайти. Ваша мета - відокремити цю змінну на одній зі сторін рівняння.

Приклад 1: Змінна у.

Приклад 2: Мінлива х.

Приклад 3: Змінна у.

Зображення з назвою Solve Exponential Equations Step 3

Рівні підстави. Ступеня у рівних підстав (числа під ступенями) можна прирівняти один до одного. Тому, якщо ваші підстави рівні, просто прирівняти їх ступеня.

Приклад 1: 6 = 6.Ето найпростіший приклад рішення показових рівнянь. Основи "6" на обох сторонах рівняння рівні, тому беремо ступеня і ставимо знак рівності між ними: у = 3.

Зображення з назвою Solve Exponential Equations Step 4

Відео: Як навчитися вирішувати показові рівняння

Перетворіть рівняння (якщо це можливо). Якщо невідоме знаходиться в ступені над підставою на одній стороні рівняння, а з іншого боку рівняння варто просто число, з якого можна виділити рівне підставу, то ви можете перетворити таке рівняння і вирішити його.

Приклад 2: 6 = 36. Тут 36 = 6. Тому, для вирішення цього рівняння замініть 36 на 6 і перетворіть вихідне рівняння в: 6 = 6. Тепер ви можете вирішити це рівняння так само, як в прикладі 1: просто прирівнявши ступеня один до одного і записавши х = 2.

Зображення з назвою Solve Literal Equations Step 3

Слідкуйте за порядком виконання операцій. При вирішенні показових рівнянь, як і при вирішенні лінійних рівнянь, необхідно враховувати порядок операцій: дужки і ступеня, множення і ділення, додавання і віднімання. При перенесенні змінних з одного боку рівняння на іншу ви будете виконувати порядок операцій в зворотному напрямку: віднімання, додавання, ділення, множення, ступеня, дужки.

Зображення з назвою Solve Exponential Equations Step 6

Перенесення вільних членів. Перенесіть всі вільні члени на одну сторону рівняння, таким чином відокремити змінну. При цьому виконуйте зворотний порядок операцій: віднімання, додавання, ділення, множення, ступеня, дужки.

Запам`ятайте, що завжди обидві сторони рівняння множаться або діляться на яке-небудь число.

Приклад 3: 6 = 6. Тут, як і в прикладі 1, підстави "6" рівні з обох сторін рівняння. Тому прирівняти ступеня і запишіть рівняння як 5 + у = 3. Це рівняння - звичайне лінійне рівняння, яке просто вирішується. Обособьте змінну у, перенісши вільні члени на одну сторону рівняння: у = 3-5, або у = -2.

Зображення з назвою Solve Exponential Equations Step 7

Ви вирішили вихідні рівняння.

Приклад 1: у = 3.

Приклад 2: х = 2.

Приклад 3: у = -2.

Метод 2 з 2: Рішення показових рівнянь з використанням логарифмів

Зображення з назвою Solve Exponential Equations Step 8

Прочитайте наступні приклади. Найчастіше використовують логарифми для позбавлення від ступенів та подальшого вирішення показових рівнянь. Нижче подається рішення показового рівняння з використанням логарифмів.

Приклад: 6 = 32

Зображення з назвою Solve Exponential Equations Step 9

Відео: Показові рівняння і нерівності

Приклад: Мінлива х.

Зображення з назвою Solve Exponential Equations Step 10

Запам`ятайте, що завжди обидві сторони рівняння множаться або діляться на яке-небудь число.

Зображення з назвою Solve Exponential Equations Step 12

Позбавтеся від ступенів. Для цього використовуйте логарифми.

Відео: ЄДІ з математики. Рішення показових рівнянь -3

Для позбавлення від ступенів, необхідно взяти логарифм обох сторін рівняння. При цьому ступінь перетворюється в множник перед логарифмом: log_b(X) = ylog_b(X). Таким чином, змінна вже не знаходиться в показники ступеня і тому з нею можна проводити основні арифметичні дії до тих пір, поки вона не буде відокремлена на одній зі сторін рівняння.

Приклад: 6 = 32. У цьому прикладі неможливо виділити рівні підстави (як в прикладі 2 в розділі "Рішення показових рівнянь без логарифмів"). Тому перемістіть х з показника ступеня через логарифмирование обох частин рівняння. Ви можете взяти логарифм за основою 10 або за основою 2 або натуральний логарифм обох сторін рівняння. У нашому прикладі візьмемо логарифм за основою 10: log₁₀(6) = log₁₀(32).

Зображення з назвою Solve Exponential Equations Step 13

Дії з логарифмами. Існують правила для дій з логарифмами. Для вирішення показових рівнянь з використанням логарифмів ви повинні знати ці правила, а саме:

Відео: Алгебра 10-11 класи. 34. Рішення найпростіших показових рівнянь і нерівностей

Додавання логарифмів двох чисел дорівнює логарифму твору цих чисел: log₂(X) + log₂(Y) = log₂(Xy).

Віднімання логарифмів двох чисел дорівнює логарифму приватного цих чисел: log₃(4) - log₃(5) = log₃(4/5).

Множник перед логарифмом вноситься під знак логарифма в якості показника ступеня. З іншого боку, показник ступеня виноситься за знак логарифма як множник. Наприклад, 2log₃(X) = log₃(X). Це правило і застосовується при логарифмування обох частин рівняння для позбавлення від ступенів.

Приклад: Використовуючи ці правила, запишемо log₁₀(6) = log₁₀(32) як xlog₁₀(6) = log₁₀(32). Тепер розділимо обидві частини рівняння на log₁₀(6) і отримаємо: x = [log₁₀(32)] / [log₁₀(6)].