Знайдіть похідну функції. Похідна характеризує зміну функції в певній точці і визначається як границя відношення приросту функції до приросту аргументу, який прагне до нуля. Для її знаходження скористайтеся таблицею похідних. Наприклад, похідна функції y = x3 буде дорівнює y’ = X2.

Прирівняти дану похідну до нуля (в даному випадку x2 = 0).

Знайдіть значення змінної даного виразу. Це будуть ті значення, при яких дана похідна буде дорівнює 0. Для цього підставте в вираз довільні цифри замість x, при яких всі вираз стане нульовим. наприклад:

2-2x2 = 0
(1-x) (1 + x) = 0
x1 = 1, x2 = -1

Отримані значення нанесіть на координатну пряму і вирахувати знак похідної для кожного з отриманих проміжків. На координатній прямій відзначаються точки, які приймаються за початок відліку. Щоб вирахувати значення на проміжках підставте довільні значення, які підходять за критеріями. Наприклад, для попередньої функції до проміжку -1 можна вибрати значення -2. На проміжку від -1 до 1 можна вибрати 0, а для значень більше 1 виберіть 2. Підставте дані цифри в похідну і з`ясуйте знак похідної. В даному випадку похідна з x = -2 дорівнюватиме -0,24, тобто негативно і на даному проміжку буде стояти знак мінус. Якщо x = 0, то значення дорівнюватиме 2, а значить на даному проміжку ставиться позитивний знак. Якщо x = 1, то похідна також буде дорівнює -0,24 і тому ставиться мінус.

Якщо при проходженні через точку на координатній прямій похідна змінює свій знак з мінуса на плюс, то це точка мінімуму, а якщо з плюса на мінус, то це точка максимуму.

Процес знаходження локальних екстремумів називається дослідженням функції і виконується шляхом аналізу першої і другої похідної функції. Перед початком дослідження переконайтеся, що заданий інтервал значень аргументу належить до допустимих значень. Наприклад, для функції F = 1 / x значення аргументу х = 0 неприпустимо. Або для функції Y = tg (x) аргумент не може мати значення х = 90 °.

Переконайтеся, що функція Y дифференцируема на всьому заданому відрізку. Знайдіть першу похідну Y`. Очевидно, що до досягнення точки локального максимуму функція зростає, а при переході через максимум функція стає спадною. Перша похідна за своїм фізичним змістом характеризує швидкість зміни функції. Поки функція зростає, швидкість цього процесу є величиною позитивною. При переході через локальний максимум функція починає спадати, і швидкість процесу зміни функції стає негативною. Перехід швидкості зміни функції через нуль відбувається в точці локального максимуму.

Отже, на ділянці зростання функції її перша похідна позитивна для всіх значень аргументу на цьому інтервалі. І навпаки - на ділянці спадання функції значення першої похідної менше нуля. У точці локального максимуму значення першої похідної дорівнює нулю. Очевидно, щоб знайти локальний максимум функції, необхідно знайти точку х ?, в якій перша похідна цієї функції дорівнює нулю. При будь-якому значенні аргументу на досліджуваному відрізку хlt; х? похідна повинна бути позитивною, а при хgt; х? - негативною.

Для знаходження х? вирішите рівняння Y` = 0. Значення Y (х?) Буде локальним максимумом, якщо друга похідна функції в цій точці менше нуля. Знайдіть другу похідну Y", Підставте в отриманий вираз значення аргументу х = х? і порівняйте результат обчислень з нулем.

Наприклад, функція Y = -x? + X + 1 на відрізку від -1 до 1 має безперервну похідну Y` = -2x + 1. При х = 1/2 похідна дорівнює нулю, причому при переході через цю точку похідна змінює знак з "+" на "-". Друга похідна функції Y"= -2. Побудуйте по точках графік функції Y = -x? + X + 1 і перевірте, чи є точка з абсцисою х = 1/2 локальним максимумом на заданому відрізку числової осі.