Як порахувати вірогідність певної комбінації при грі в кістки

Безліч людей думають, що якщо кинути три ігрових кістки з шістьма сторонами, існує однакова імовірність отримання як трійки, так і десятки. Це неправда, у цій статті ми розповімо вам, як порахувати середнє лінійне відхилення і квадратичне відхилення при викиді комбінацій гральними кістками.

Давайте розберемося в термінології механіки ігрових кісток. У звичайного ігрового кубика 6 сторін, але існують також інші варіації. Наприклад, двосторонні ігрові кістки "монети", чотиристоронні "піраміди", 8-сторонні "октаедри", 10-сторонні "декаедри", 12-сторонні "додекаедри" і двадцатісторонніе "ікосаедр". При викиді кісток дотримується формат (кількість кісток) (скорочений ідентифікатор ігрового кубика). Запис 2D6 означає викид двох кісток з 6 сторонами. У цій статті в формулах будуть використані наступні позначення: N - кількість викидів кісток, R - кількість сторін в кожній ігровій кістки, від 1 до R, а також K - комбинаторное значення. Є кілька методів обчислення ймовірності випадання кожної суми.

Метод 1 з 4: Перенумерація

Зображення з назвою Calculate Multiple Dice Probabilities Step 1

Запишіть кількість кісток, їх сторін і потрібне число.

Зображення з назвою Calculate Multiple Dice Probabilities Step 2

Перерахуйте всі комбінації, за допомогою яких може вийде дана сума. Чим більше у вас ігрових кісток, тим більше комбінацій. Наприклад, якщо N = 5, R = 6, K = 12. Дивіться запис на зображенні знизу. Щоб переконатися, що жодна комбінація не була порахована двічі, все значення наведені в словниковому порядку, а кістки не в уменьшающемся порядку.

Зображення з назвою Calculate Multiple Dice Probabilities Step 3

Не всі комбінації, записані в попередньому кроці, мають однакову ймовірність випадання. Візьмемо приклад тристоронньої ігровий кістки з трьома сторонами 1,2,3. Існує 6 можливостей - (123, 132, 213, 231, 312, 321), але при сторонах 1,1,4 є тільки 3 можливості - 114, 141, 411. Використовуйте поліноміальних формулу для обчислення кількості комбінацій всіх цифр. Ця інформація додана в таблицю на зображенні внизу.

Зображення з назвою Calculate Multiple Dice Probabilities Step 4

Відео: Приклади обчислення ймовірностей - bezbotvy

Складіть всі можливі комбінації отримання потрібної суми.

Зображення з назвою Calculate Multiple Dice Probabilities Step 5

Розділіть на загальну кількість результатів. Оскільки у кожної ігрової кістки є R однаково ймовірних сторін, записуємо R.

Метод 2 з 4: Рекурсія

Цим методом вважають ймовірність випадання всіх сум для все цифр на ігрових кістках. Його найлегше записувати у формі таблиці.

Відео: Довгі нарди. тактика "заманювання" суперника.

Зображення з назвою Calculate Multiple Dice Probabilities Step 6

Запишіть ймовірність викиду для однієї ігрової кістки. У прикладі на зображенні записаний спосіб обчислення ймовірності для 6-сторонньої ігровий кістки. Порожні ряди в таблиці з негативними числами прийнято вважати нулями, використовуючи ту ж формулу для кожного ряду таблиці.

Зображення з назвою Calculate Multiple Dice Probabilities Step 7

У колонці таблиці для розрахунку ймовірності для двох ігрових кісток використовуйте наведену формулу. Вірогідність випадання суми До для двох кісток дорівнює сумі наступного (описано нижче). Для кожної великої або маленької величини До деякі з цих значень можуть дорівнювати 0, але формула дійсна для всіх значень К.

Перша кістка показує К-1, а друга показує 1.

Перша кістка показує К-2, а друга показує 2.

Перша кістка показує К-3, а друга показує 3.

Перша кістка показує К-4, а друга показує 4.

Перша кістка показує К-5, а друга показує 5.

Перша кістка показує К-6, а друга показує 6.

Зображення з назвою Calculate Multiple Dice Probabilities Step 8

Точно так же, для 3 або більше ігрових кісток застосовується та ж формула, з використанням ймовірностей випадання кожної суми на одній ігровий кістки. Формула, описана в другому кроці, може бути застосована як до рядів таблиці, так і до колонок, поки в неї не будуть включені всі дані з таблиці.

Наведена нижче картинка показує кількість способів досягнення потрібної суми, а не ймовірність. Але, ймовірність = кількість способів досягнення потрібної суми / Rn, де R-кількість сторін кожної ігрової кістки, а N- кількість ігрових кісток.

Зображення з назвою Calculate Multiple Dice Probabilities Step 9

Метод 3 з 4: Створення функцій

Зображення з назвою Calculate Multiple Dice Probabilities Step 10

Запишіть многочлен (1 / R) (X + X + X). Це виробляє функція для однієї ігрової кістки. Коефіцієнт Х-це ймовірність того, що ви викинете суму К.

Зображення з назвою Calculate Multiple Dice Probabilities Step 11

Зведіть многочлен в ступінь n, щоб отримати виробляє функцію для суми, яка випала на ігрових кістках. Вийшло (1 / R) (X + X + X). Якщо N більше 2, вам знадобиться калькулятор.

Зображення з назвою Calculate Multiple Dice Probabilities Step 12

Підрахунок цієї ймовірності робиться так само, як і в попередньому методі, але іноді теоретичні результати отримати легше за допомогою виробляє функції. Наприклад, якщо ви кидаєте 2 звичайних ігрових кістки, у них буде точно такий же розподіл можливих сум, як і у незвичайній ігровій кістки (1,2,2,3,3,4) і інший (1,3,4,5, 6,8). Це відбувається тому, що (x + x + x + x + x + x) (x + x + x + x + x + x) = (x + x + x + x + x + x) (x + x + x + x + x + x).

Метод 4 з 4: Безперервне наближення

Зображення з назвою Calculate Multiple Dice Probabilities Step 13

Для великої кількості ігрових кісток підрахувати ймовірність за допомогою вищеописаних методів буде складно. Теорема про центральному межі стверджує, що сума чисел на ідентичних ігрових кістках наближається до нормального розподілу зі збільшенням кількості ігрових кісток.

Зображення з назвою Calculate Multiple Dice Probabilities Step 14

Підрахуйте середнє відхилення і стандартне відхилення, грунтуючись на кількості і типі ігрових кісток. Припустимо, що ігрові кістки пронумеровані від 1 до R, дивіться формулу нижче.

Середнє значення (R + 1) / 2.

Дисперсія розподілу ймовірності n (r ^ 2-1) / 12.

Стандартне квадратичне відхилення-це квадратний корінь дисперсії.

Зображення з назвою Calculate Multiple Dice Probabilities Step 15

Відео: Точні ймовірності легендарних і епічних карт у всіх скринях! Clash royale

Використовуйте нормальний розподіл із середнім значенням і стандартним квадратичним відхиленням як апроксимацію суми, викинутої на ігрових кістках.

попередження

Якщо у вас кілька ігрових кісток з різною кількістю сторін, обчислення ймовірності сильно ускладниться. Найпростіший спосіб обчислення ймовірності - перерахування всіх можливих результатів і упорядкування їх в порядку зростання по загальній сумі.

Зроби сам